Запрос: Пусть a, b, c — положительные вещественные числа с.т. a^2 + b^2+c ^2= 1. Докажите следующее неравенство a/a^3+bc + b/b^3+ac + c/c^3+ab >3

Вопрос пользователя:

Пусть a, b, c — положительные вещественные числа с.т. a^2 + b^2+c ^2= 1. Докажите следующее неравенство a/a^3+bc + b/b^3+ac + c/c^3+ab >3

Ответ нейросети :
Пожаловаться?
<p>Для начала заметим, что по неравенству AM-GM, мы имеем:

a^3 + bc ≥ 2a√(bc)

b^3 + ac ≥ 2b√(ac)

c^3 + ab ≥ 2c√(ab)

Сложим все эти неравенства:

a/a^3+bc + b/b^3+ac + c/c^3+ab ≥ 2(a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))/(a^3+bc + b^3+ac + c^3+ab)

Теперь заметим, что по неравенству Коши-Буняковского:

(a^2 + b^2 + c^2)(bc + ac + ab) ≥ (a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))^2

1(bc + ac + ab) ≥ (a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))^2

(a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))^2 ≤ bc + ac + ab

Таким образом,

2(a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))/(a^3+bc + b^3+ac + c^3+ab) ≥ 2(a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))/(bc + ac + ab) ≥ 2

Следовательно,

a/a^3+bc + b/b^3+ac + c/c^3+ab > 2 > 3

Что и требовалось доказать.</p>

Комментарии

Сервис быстрых ответов от искусственного интеллекта

Авторизуйтесь, чтобы задать свой вопрос

Продолжая, вы даете согласие на обработку персональных данных, соглашаетесь с условиями использования cookies, а также подтверждаете ознакомление с публичной офертой.
.
Система: 
Сервис представляет собой мощный инструмент, способный предоставлять подробные ответы на широкий спектр вопросов, используя нейросеть GPT-3.5. Однако важно понимать, в каких случаях его использование является уместным, а в каких нет.
 Уместное использование: Образовательные цели: Сервис отлично подходит для студентов и исследователей, ищущих дополнительные материалы для обучения или исследований. Решение бытовых вопросов: Пользователи могут получать советы по повседневным вопросам, например, по кулинарии, домашнему мастерству или организации личных финансов. Креативные идеи: Художники, писатели и другие творческие личности могут использовать сервис для генерации идей и вдохновения. Технические консультации: Полезен для получения информации о программировании, инженерии и других технических областях. 
Неуместное использование: Медицинская диагностика и лечение: Не следует полагаться на Сервис для медицинских диагнозов или лечебных рекомендаций. Юридические консультации: Сервис не может заменить профессионального юриста для консультаций по правовым вопросам. Конфиденциальная информация: Не следует использовать Сервис для работы с конфиденциальной или чувствительной информацией. Критические решения: Не рекомендуется полагаться на сервис при принятии решений, связанных с безопасностью, финансами или важными жизненными изменениями.