Пусть a, b, c — положительные вещественные числа с.т. a^2 + b^2+c ^2= 1. Докажите следующее неравенство a/a^3+bc + b/b^3+ac + c/c^3+ab >3
Для начала заметим, что по неравенству AM-GM, мы имеем: a^3 + bc ≥ 2a√(bc) b^3 + ac ≥ 2b√(ac) c^3 + ab ≥ 2c√(ab) Сложим все эти неравенства: a/a^3+bc + b/b^3+ac + c/c^3+ab ≥ 2(a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))/(a^3+bc + b^3+ac + c^3+ab) Теперь заметим, что по неравенству Коши-Буняковского: (a^2 + b^2 + c^2)(bc + ac + ab) ≥ (a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))^2 1(bc + ac + ab) ≥ (a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))^2 (a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))^2 ≤ bc + ac + ab Таким образом, 2(a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))/(a^3+bc + b^3+ac + c^3+ab) ≥ 2(a√(bc) + b√(ac) + c√(ab))/(bc + ac + ab) ≥ 2 Следовательно, a/a^3+bc + b/b^3+ac + c/c^3+ab > 2 > 3 Что и требовалось доказать.